Dalla Meccanica classica alla Fisica moderna
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From classic Mechanics to the modern Physics
ABSTRACT I tried to reduce the theory of this work of synthesis which got inspiration from a not drawn subject of the 1990 competitive examination for mathematicians and physicist schools inspectors. It is not recommended to stick just to this interpretation to get to a direct one. It is helpful a second thought of this kind on both classical and modern mechanics. From Galilei to Fermat ant through Newton, Lagrange or Hamilton, it is needful to get to physicist like Ehrenfest, Dirac and Breit (until now nearly unknown to common high schools) in order to understand the conceptual upsetting of the modern approach to science. And now may the problem on the nature of the mysterious quark be introduced, without reducing physics to a mere philosophical account?
{Inedited Italian article: I wish a translation of the WIKInformers}
Dalla Meccanica classica alla Fisica moderna.
RIASSUNTO Un tema di concorso ad ispettore del 1990 (non sorteggiato) per la classe di Matematica e Fisica ispira questo lavoro di sintesi, in cui ho cercato di alleggerire la teoria. Nonostante che non sia consigliabile limitarsi solo a questa "lettura" per un’esegesi diretta, si ritiene utile un ripensamento di questo tipo sulla meccanica classica e moderna. Partendo da Galilei e Fermat, attraverso Newton ed ancora Lagrange o Hamilton, sembra opportuno pervenire a fisici come Ehrenfest, Dirac e Breit (a tutto oggi misconosciuti in normali corsi liceali) per comprendere appieno il capovolgimento concettuale del moderno approccio alla scienza. E come introdurre il problema sulla natura dei fantomatici quark, senza però ridurre la Fisica ad un puro racconto filosofico?
MECCANICA CLASSICA (1600…)
I tre principi fondamentali, della meccanica vettoriale di Galilei e Newton, sono riassunti dalle equazioni del moto durante il tempo (t): dpi/dt=Fi+Ri {i=1…n} ove il vettore p rappresenta la quantità di moto p=mv=mdq/dt (prodotto tra la massa m e la velocità v della i-esima particella). Se nel secondo membro dell'equazione dpi/dt=Fi+Ri la forza attiva Fi e la forza di reazione Ri sono nulle, si ottiene il 1° principio (d'inerzia) se è nullo il primo membro si ha il 3° principio (d'azione e reazione). Il principio di Galilei consiste semplicemente nell'equazione dP/dt=f, valida allorché si considera una particella singola, in assenza di forze di reazione R. Analogamente, per il momento angolare L= r^P risulta: dL/dt=M ove M rappresenta il momento della quantità di moto. Generalizzando, possiamo scrivere: dpj/dt=Fj {j=1..n} dove le quantità p sono quindi da intendere quali momenti coniugati, cioè relativi alle coordinate generalizzate q ed inglobando in F le forze compatibili con i vincoli. Tale descrizione della meccanica può essere complicata e poco maneggevole, fino a quando non si trovano le grandezze invarianti rispetto al sistema di coordinate, quale l'energia del sistema di particelle. Il metodo della meccanica analitica (che risale a Leibniz, Euler, Lagrange ed Hamilton) risolve invece il problema partendo dagli invarianti possibili onde pervenire ai sistemi di coordinate più adatti alla descrizione del moto. In un sistema conservativo è Fdq+dV=0 sicché F=-dV/dq ed inoltre p=∂T/∂q`, come si ricava dall'espressione dell'energia: T=m(dq/dt)²/2=pq`/2. Le equazioni del moto possono allora così esprimersi: (∂T/∂q`)`=-∂V/∂q ovvero, ponendo L=T-V e ricordando che ∂V/∂q`=∂T/∂q=0, come
(∂L/∂q`)`+∂L/∂q=0. L'espressione L è la cosiddetta funzione lagrangiana, mentre l'energia totale H= T+V si chiama “hamiltoniana”. Per questa valgono le equazioni canoniche: q`=dH/dp, p`=-dH/dq, dH/dt=-dL/dt e nella formulazione hamiltoniana si preferisce determinare H=H(q,p,t) anziché L= L(q,q`,t). Ancora, si dimostra che l'integrale: δL= ∫Ldt è minimo rispetto ad una variazione delle (q; q`) se e solo se sono soddisfatte le stesse equazioni del moto. Analogamente, rispetto alle variabili (q; p) per una variazione di H abbiamo:
δH= δ∫Hdt= 0.
PRINCIPIO DI FERMAT (…1900)
L'integrale W= ∫pq`dt= ∫Wdt si definisce quale azione del moto o funzione caratteristica di Hamilton; poiché L=W-H, per una variazione delle variabili (q; t) in cui l'energia (H=E) risulta invariante, abbiamo il principio di minima azione: δW=0, e L(q,t)= W-Et= costante. Tale importante risultato appare come la generalizzazione del principio dell'ottica geometrica, di Fermat: δ∫ds= δ∫ndt= 0 dove la quantità v=c/n•c rappresenta la velocità della luce “relativa”. Basti pensare che nella funzione d'onda f(Kq-Ût), ove Û/K=v , per un valore di K all'incirca costante la “fase dell'onda” Φ= Kq-Ût= ∫Kq'dt-Ût è costante. Introducendo la costante di Planck
ħ= h/(2π), quindi p= dW/dq= ħ•K, E= ħ•Û, l'equazione d'onda ∂²f/∂q²+(Ûn/c)²f= 0 può riscriversi in forma quantistica: ∂²f/∂q²= -(p/ħ)²f (Schrödinger 1926).
BOHR (1913, 1927)
Ricordiamo che la meccanica quantistica fu introdotta per risolvere il problema dei livelli energetici del “corpo nero” (Planck 1900) dell'effetto fotoelettrico (Einstein 1905) e dell'atomo. Bohr tentò il primo approccio a questo problema, i cui livelli fondamentali dipendono dagli interi n secondo la formula:
E= -Zm(αc/n)²/2. Qui e=1.6 10-19 Coulomb, m'= m'M/(m'+M)= 0.5 10+6 eV/c² sono rispettivamente la carica elementare e la massa ridotta relativa al baricentro dell'elettrone di massa m' ed al nucleo atomico di massa M, Z il numero atomico, ε la costante dielettrica nel vuoto ed α=e²/(4πεħc) è la cosiddetta costante di struttura fine. Nella versione più avanzata, Bohr sfruttava le relazioni p=h/λ, E=hƒ (de Broglie 1925), assegnando anche ai corpuscoli (d’elevata energia) il comportamento di un'onda di lunghezza λ e frequenza ƒ. Egli associava altresì le equazioni della forza centrifuga F=-mq`²/r e dell'energia (negativa) dell'elettrone in un campo elettrico centrale:
E=mq`²/2-Ze²/(4πεr)=-Ze²/(8πεr). Era così possibile pervenire anche al valore della velocità dell'elettrone: v=Zαc/n per le orbite circolari di raggio r=ħn²/(Zαmc). Tuttavia, solo la teoria di Sommerfeld permise di spiegare le caratteristiche delle orbite ellittiche, compatibilmente con le equazioni relativistiche:
(mc)²=(E/c)²-p², avendo posto m= m[1-ß²]½ quale massa a riposo, con ß=v/c=pc/E (Einstein 1905). Ma occorre riprendere i metodi della meccanica analitica, soprattutto al fine di spiegarci nei sistemi fisici la comparsa di determinate grandezze intere (quantizzazione).
EHRENFEST (1914)
Se in un sistema fisico introduciamo una perturbazione, normalmente si produce una variazione nelle grandezze osservabili, da cui esso dipende. Tuttavia, possono esistere delle grandezze destinate a restare costanti in seguito a piccole perturbazioni, oppure variabili in seguito ad una leggera perturbazione solo secondo numeri interi: tali grandezze si chiamano invarianti adiabatici. Un esempio è fornito dall'integrale chiuso d'azione:
W= ∫°PdQ= ∫°JdΦ= 2πnJ, per il momento angolare P=J coniugato con la coordinata angolare Q=Φ, od in particolare in presenza di moti periodici puri. In tal caso, possiamo addirittura considerare la media costante
W/(2π) quale “momento coniugato” cosicché la coordinata canonica relativa è rappresentata da w= (∂E/∂p)t +costante, ricordando che è costante rispetto al tempo anche la derivata w`= ∂H/∂p. La perturbazione è relativa ad un certo parametro l, che potrebbe essere la lunghezza del filo di un pendolo. Tenendo conto della gravità e della forza centrifuga: V= l∫l+∂l [mgcosΦ+mlΦ`²](-dl) è il lavoro compiuto per un lento accorciamento del filo, ove g rappresenta l'accelerazione di gravità e Φ l'angolo formato dal filo rispetto alla verticale (l'esempio è di Ehrenfest). Poiché per piccole oscillazioni è cos(Φ)=1-2sin²(Φ/2)≈1-Φ²/2, il lavoro che incrementa l'energia del moto pendolare, prescindendo quindi dal lavoro d’innalzamento, nelle medie su Φ², Φ`² otteniamo (considerando la variazione dl molto lenta rispetto a dΦ):
δV=V+mgδl=l∫l+∂l[mgΦ²/2-mlΦ`²]dl=
___ __
=(mgΦ²/2-mlΦ`²)δl. D'altra parte, per piccole oscillazioni l'energia stessa del moto pendolare è eguale a:
____ __ __ __
V= m(lΦ)`²/2+ mglΦ²/2 = mglΦ² =mglΦ`² (ricordiamo che nel moto armonico l'energia si distribuisce in parti eguali fra i due addendi). Combinando con la precedente, è: δV/V= -δl/(2l)= δÛ/Û. Ricorrendo alla legge di Torricelli {Û²=g/l} e se si postula che J rappresenta un invariante adiabatico, è pertanto V/Û= costante= J= nh. Si ottengono così i livelli energetici di Planck: V= nhÛ= nhƒ dell'energia (V) in funzione della frequenza ƒ dell'oscillatore armonico. L’estensione della regola di quantizzazione Wi= ∫pidqi= nihƒ, a più variabili, è possibile solo se esse sono separabili nelle equazioni del sistema fisico. Un esempio è rappresentato dai due possibili modi di vibrazione ortogonali per un sistema bidimensionale, i quali descrivono durante il moto tipiche curve (di Lissajous): in particolare, la curva corrispondente è un’orbita chiusa se le due frequenze sono commensurabili, un’ellisse nel caso di degenerazione in un unico valore (fx=fy).
SOMMERFELD (1916)
Usando l'espressione della forza centripeta per l'elettrone immerso nel campo elettrico di un nucleo di carica Ze, a distanza r:
F=-(J/r)²/(mr)=-Ze²/(4πεr²) si ottiene (considerando il momento angolare totale J una costante) l'energia potenziale V= -∫Fdr = J²/(2mr²). L'energia totale H diminuita dell'energia di massa (a riposo) mc², risulta perciò: (m-m)c²=H-mc²=J²/(2mr²)-Ze²/(4πεr)=-Ze²/(4πεr)/2<0. Ancora, siccome
Ze²/(4πεr)= J²/(mr²)= Jp/(mr)= Jpc²/(Hr), si ottiene una velocità che può considerarsi quella dell'elettrone:
v= pc²/H= Zαħc/J=Zαc/(nr+nl'), avendo usato la regola di quantizzazione J= Jr+Jl'=(nr+nl')ħ. Possiamo immaginare che il momento Jr rappresenti l'oscillazione radiale dell'elettrone che orbita ellitticamente intorno al nucleo (in generale, r non è costante), Jl quella angolare. Nell'interpretazione di Sommerfeld, J rappresenta un moto a rosetta dell'ellisse dovuto alla variazione relativistica della massa. Vedremo che nl' è soggetto ad una correzione relativistica dipendente dalla stessa velocità dell'impulso pl, perpendicolare a pr, ma a questo punto seguiremo al meglio possibile le formule di Dirac. L'energia totale H=mc²-p²/(2m) rappresenta solo l'approssimazione di una relazione quadratica (H/c)²=(mc)²-p². Questa, con uno strano scambio fra massa ed energia, è compatibile con l'equazione relativistica cui soddisfà l'energia meccanica E, in assenza di campo esterno: (E/c)²=(mc)²+(mv)². La spiegazione più convincente di tale sconcertante relazione verrà solo dalla successiva interpretazione di Dirac; nelle equazioni della meccanica quantistica, come: (H/c)²= (mc)²+(ip)², sono ammesse anche parti immaginarie, anche se risultano misurabili solo le corrispondenti grandezze reali, come |p|. Da quanto sopra, si ottiene
(µc)²-(H/c)²= p²= (H/c)²(Zα)²/(nr+nl')², quindi H= µc²[1+Z²α²/(nr+nl')²]]-½. Occorre infine assoggettare nl' alla correzione relativistica dovuta alla “velocità tangenziale” v:
nl'= nl[1-(v/c)²]½= nl[1-(Zα/nl)²]½= [nl²-(Zα)²]½. Tenuto conto che nl è da considerare intero e non nl', ciò elimina nella formula la classica degenerazione degli autovalori interi nell'unico (nr+nl'). Osserviamo infine come i "quadrati" quantistici dei momenti J=jħ in realtà darebbero il valore osservabile J²=j(j+1)ħ², poiché nelle equazioni corrispondono, infatti, ad elementi di matrice e non a quantità semplicemente vettoriali.
Tuttavia, nelle formule lineari a cui si riducono le grandezze puramente energetiche dei fermioni (particelle di momento angolare proprio S=ħ/2) può dimostrarsi la validità dell'approssimazione usata. Ma il fatto che al numero quantico angolare j occorre sommare il valore semintero di spin, s=±½, pone in evidenza le difficoltà della teoria semiclassica di Sommerfeld.
DIRAC (1925-28)
La teoria di Sommerfeld, a parte i valori non seminteri dei momenti angolari a cui occorre sommare un valore di spin J= ħ/2 permanente per l'elettrone, non spiega ancora l'effetto Zeeman anomalo. Per il momento angolare J=lħ nell'interpretazione di Sommerfeld è 0<l≤n ma più rigorosamente si ottiene 0≤l<n ed occorre associare all'elettrone un momento magnetico eguale a mM con |m|≤l, dove M=eħ/(2m) è il magnetone di Bohr. Ciò dà luogo al normale effetto Zeeman, per cui la degenerazione dei livelli energetici, per un dato valore di n, viene "rimossa" dall'energia magnetica aggiuntiva: Em= mBeħ/(2m), a condizione che sia presente il campo magnetico d'induzione B=µH (µ=costante diamagnetica). Lo spin dell'elettrone (s) comporta un momento magnetico doppio M'= 2sM cioè "anomalo". La spiegazione pi∂ completa e convincente del fenomeno si deve a Dirac, che riuscì a dedurre le equazioni relativistiche per il comportamento ondulatorio dell'elettrone; ma la formula energetica finale fornisce gli stessi risultati. Ciò dipende dal fatto che la quantizzazione intera del momento J è corretta, ma nella teoria di Dirac proviene dalla somma J+ħ/2, mentre è semintero il valore del momento angolare totale: J+sħ. In altri termini, nell'equazione di Dirac lo spin J=ħ/2 assume un valore doppio ai soli fini energetici e pertanto resta invariata l'energia totale
H= µc²[1+Z²α²/(nr+nl')²]-½. Senza addentrarci in tali equazioni, si può dare una descrizione intuitiva per l’anomalia di M pensando alla forza di Coriolis per un sistema rotante. Con Û=v/r, è:
ma= 2mvÛ= 2(J/r)²/(mr); questa ha un valore doppio rispetto alla semplice accelerazione "a" centrifuga nel caso di un corpo in moto con velocità v rispetto al sistema stesso. Introduciamo ora le relazioni d’indeterminazione, deducibili dalla stessa meccanica quantistica applicata ai pacchetti d'onda: δpδq≥ħ/2, δHδt≥ħ/2 (Heisenberg 1927) ove per δx s’intende qui l'errore quadratico. In conformità a ciò, quando si determini p=J, momento coniugato alla coordinata spaziale q=ω, questa ultima è completamente indeterminata; così pure gli intervalli di tempo, se fissiamo l'energia J²/(2mr²). La velocità del corpo in moto raggiunge allora il suo valore-limite
v= rdω/dt= c (velocità della luce). La determinazione di J ed E soddisfà proprio a queste ipotesi: la carica dell'elettrone rotante nell'equazione di Dirac è presente in un termine cinematico aggiuntivo d’energia magnetica che proviene sostanzialmente da un doppio prodotto nello sviluppo quadratico dell'energia relativistica. Raggiunge in ogni caso, secondo la composizione relativistica delle velocità, il valore-limite:
lim (c-v)/(1-v/c)=c (rispetto al resto del sistema).
v_>c
Aldilà di tali considerazioni, giustificabili solo in base ad una rigorosa analisi della localizzazione probabile dell'elettrone, la "nuova meccanica" esige una definizione operativa delle misure: gli stessi modelli matematici devono rispondere a tal esigenza, in linea con una nota interpretazione della meccanica analitica (Bridgman 1927). Le grandezze osservabili (quali massa, forza e perfino linea retta) possono definirsi solo in base ai numeri quantici o autovalori delle equazioni differenziali che coinvolgono non solo scalari e vettori ma anche matrici.
BREIT (1928...)
La trattazione più rigorosa dell'elettrone vincolato ad un nucleo di carica Ze comporta in realtà, nello stato fondamentale, un momento magnetico calcolato da Breit: M(Zα)= m(1+2[1-(Zα)²]½)/3 che dipende dalle componenti (relativistiche) di J e dalla velocità v=Zαc. Si osservi che il numero delle dimensioni dello spazio coincide con
lim {M(0)/M(Z)}=3.
(Zα)_>1
GELL-MANN (...1961...)
Il risultato precedente può fornire una spiegazione di una sconcertante proprietà della fisica moderna. Nella teoria dei quark (parti degli stessi protoni, Gell-Mann) si è costretti ad imporre a tali parti della materia cariche elettriche multiple di ±(e/3). Ma, nonostante i calcoli che derivano dalla carica frazionaria dei quark sono compatibili del tutto con le interazioni delle particelle, non sembra realizzabile la loro decomposizione in quark. Ricordiamo ora che la frazione m/3 del momento magnetico dell'elettrone ne rappresenta solo una sua componente spaziale: nella stessa prospettiva occorre forse interpretare la carica frazionaria dei quark. Analoghe difficoltà teorico-sperimentali ritroveremo nella attuale teoria delle stringhe (String theory, New Physics). Possiamo concludere con un grande insegnamento, già evidenziato dalle difficoltà emerse in seguito alla teoria dell'atomo. I numeri quantici che forniscono le grandezze invarianti fondamentali hanno significato solo relativamente a quel dato sistema di coordinate canoniche in cui si misurano le grandezze associate (momenti coniugati). Ciò comporta la necessità che il modello matematico di un fenomeno fisico sia fatto discendere dai principi fondamentali che coerentemente lo delimitano, così come avviene nella meccanica analitica da cui ebbe inizio il cammino della fisica moderna.
Minimal Bibliography
1] J. W. Leech, Classical Mechanics, London 1958 Methuen & John Wiley;
2] L. D. Landau & E. M. Lifshitz, Meccanica, Torino 1965 Boringhieri;
3] E. Persico, Fondamenti della Meccanica atomica, Bologna 1939 Zanichelli;
4] M. Born, Fisica atomica, Torino 1968 Boringhieri;
5] G. Herzberg, Spettri atomici e struttura atomica, Torino 1961 Boringhieri;
6] G. Breit, Nature 122 (1928) p.649.
References
Author Giovanni Imbalzano, XXXV CONGRESSO NAZIONALE Associazione Italiana Fisica 1996 (Tavola Rotonda) Italy
